問題
図に示す回路において、スイッチSの開閉にかかわらず全電流Iが8[A]であるときは、抵抗R1及びR2の組合せは、( )である。ただし、電池の内部抵抗は無視するものとする。
- 3[Ω]及び9[Ω]
- 4[Ω]及び12[Ω]
- 5[Ω]及び15[Ω]
- 6[Ω]及び18[Ω]
- 7[Ω]及び21[Ω]
解答
3
解説
真ん中のスイッチが開閉しても全体の電流が変わらないということは、この回路は平衡状態にあります。
つまり、この回路はホイートストンブリッジであると言えます。
そのため、下記の関係が成り立ちます。
$$\begin{eqnarray} 45R_1=15R_2 \end{eqnarray}$$両辺を15で割って整理すると、
$$\begin{eqnarray} R_2=3R_1 \cdots ① \end{eqnarray}$$という関係が求まります。
また、スイッチを開いた時の回路は下図のように書けます。
これより、回路全体の合成抵抗は、
$$\begin{eqnarray} \frac{\left( R_1+15\right) \times \left( R_2+45\right)}{\left( R_1+15 \right) + \left( R_2+45 \right)} \end{eqnarray}$$となるため、回路全体の電圧は
$$\begin{eqnarray} 120=\frac{\left( R_1+15\right) \times \left( R_2+45\right)}{\left( R_1+15 \right) + \left( R_2+45 \right)} \times 8 \cdots ② \end{eqnarray}$$が成り立ちます。
②に①を代入し、整理します。
$$\begin{eqnarray} 120&=&\frac{\left( R_1+15\right) \times \left( 3R_1+45\right)}{\left( R_1+15 \right) + \left( 3R_1+45 \right)} \times 8 \\ &=&\frac{\left( R_1+15\right) \times 3\left( R_1+15\right)}{\left( R_1+15 \right) + 3\left( R_1+15 \right)} \times 8 \\ &=&\frac{3\left( R_1+15\right)}{1+3} \times 8 \\ &=&\left( R_1+15\right) \times 6 \\ &=&6R_1+90 \\ 6R_1&=&30 \\ R_1&=&5 [\rm{\Omega}]\cdots ③ \end{eqnarray}$$③を①に代入します。
$$\begin{eqnarray} R_2=3\times 5 =15 [\rm{\Omega}] \end{eqnarray}$$