問題
1[μF]のコンデンサを1[V]で充電し、4[μF]のコンデンサを4[V]で充電して並列に接続したとき、この二つのコンデンサに蓄えられる総合のエネルギーは、( )[J]である。ただし、充電後の二つのコンデンサの極性は一致させて接続するものとする。
- 28.9×10-6
- 32.5×10-6
- 57.8×10-6
- 6.5×10-5
- 1.7×10-4
解答
1
解説
まず、電荷Q[C]、静電容量C[F]、電圧V[V]には下記の関係が成り立ちます。
$$\begin{eqnarray} Q&=&CV \\ \end{eqnarray}$$これより、1[μF]のコンデンサを1[V]で充電したときの電荷Q1[C]と、4[μF]のコンデンサを4[V]で充電したときの電荷Q2[C]は、
$$\begin{eqnarray} Q_1&=&1.0\times 10^{-6} \\ Q_2&=&16.0\times 10^{-6} \\ \end{eqnarray}$$と求められます。
これを並列接続したとき、回路全体で蓄えられる電荷Q[C]は、下記で求められます。
$$\begin{eqnarray} Q&=&Q_1+Q_2 \\ &=&17.0\times 10^{-6} \\ &=&1.7\times 10^{-5} \\ \end{eqnarray}$$次に、この2つのコンデンサの合成容量C[μF]を求めます。並列接続なので合成容量は足し算で、
$$\begin{eqnarray} C&=&1+4=5 \end{eqnarray}$$と求められます。
最後に、静電エネルギーを求めます。
静電エネルギーU[J]は、電荷Q[C]と静電容量C[F]を用いて下記の式で表されます。
$$\begin{eqnarray} U=\frac{Q^2}{2C} \end{eqnarray}$$この式に代入して整理します。
$$\begin{eqnarray} U&=&\frac{(1.7\times10^{-5})^2}{2\times 5\times10^{-6}} \\ &=&\frac{2.89\times10^{-10}}{10^{-5}} \\ &=&2.89\times 10^{-5} \\ &=&28.9\times 10^{-6} \\ \end{eqnarray}$$