問題
図に示す回路において、スイッチS1のみを閉じたときの電流IとスイッチS2のみを閉じたときの電流Iは、ともに5[A]であった。また、スイッチS1とS2の両方を閉じたときの電流Iは、4[A]であった。抵抗R及びコイルLのリアクタンスXLの値の組合せとして、正しいものを下の番号から選べ。ただし、交流電源電圧は150[V]とする。
| R | XL | |
|---|---|---|
| 1 | 37.5[Ω] | 75[Ω] |
| 2 | 37.5[Ω] | 50[Ω] |
| 3 | 18.2[Ω] | 50[Ω] |
| 4 | 18.2[Ω] | 30[Ω] |
| 5 | 12.5[Ω] | 30[Ω] |
解答
2
解説
RLC並列回路の計算
スイッチS1を閉じた場合とスイッチS2を閉じた場合で電流が等しいため、コイルのリアクタンスXLとコンデンサのリアクタンスXCの間には、下記の関係が成り立ちます。
$$\begin{eqnarray} X_L=X_C \end{eqnarray}$$続いて、スイッチを両方閉じたときの合成インピーダンスZ0を求めます。
電流4[A]、電圧150[V]、XL=XCの関係を用いて、上の式をさらに展開します。
$$\begin{eqnarray} Z_0=\frac{150}{4}&=&\frac{RX_LX_C}{\sqrt{X_L^2X_C^2+\left(X_L-X_C\right)^2}} \\ 37.5&=&\frac{RX_L^2}{\sqrt{X_L^4}} \\ 37.5&=&\frac{RX_L^2}{X_L^2} \\ R&=&37.5 [\Omega] \end{eqnarray}$$また、スイッチS1だけを閉じた場合について、合成インピーダンスZ1を求めます。
電流5[A]、電圧150[V]、抵抗R=37.5[Ω]なので、下記のように展開できます。
$$\begin{eqnarray} Z_1=\frac{150}{5}&=&\frac{RX_L}{\sqrt{R^2+X_L^2}} \\ 30&=&\frac{37.5X_L}{\sqrt{37.5^2+X_L^2}} \\ 30^2&=&\frac{37.5^2X_L^2}{37.5^2+X_L^2} \\ 30^2\left(37.5^2+X_L^2\right)&=&37.5^2X_L^2 \\ 37.5^2X_L^2-30^2X_L^2&=&30^2\times37.5^2 \\ (37.5^2-30^2)X_L^2&=&30^2\times37.5^2 \\ \end{eqnarray}$$ここで、37.52-302を下記のように整理します。
$$\begin{eqnarray} 37.5^2-30^2&=&\left(\frac{75}{2}\right)^2-30^2 \\ &=&\frac{5625}{4}-900 \\ &=&\frac{5625}{4}-\frac{3600}{4} \\ &=&\frac{2025}{4} \\ &=&\frac{45^2}{2^2} \\ \end{eqnarray}$$XL>0なので、XLは下記のように求められます。
$$\begin{eqnarray} \frac{45^2}{2^2}X_L^2&=&30^2\times37.5^2 \\ \frac{45}{2}X_L&=&30\times37.5 \\ X_L&=&\frac{2\times37.5\times30}{45} \\ &=&\frac{75\times30}{45} \\ &=&\frac{15\times30}{9} \\ &=&\frac{15\times10}{3} \\ &=&\frac{5\times10}{1} \\ &=&50 \end{eqnarray}$$