一陸特 令和元年6月 無線工学(A)問4

問題

図に示す並列共振回路において、交流電源から流れる電流I及びX_Cに流れる電流I_XCの大きさの値の組合せとして、正しいものを下の番号から選べ。ただし、回路は、共振状態にあるものとする。

	I	IXC
1	4[A]	5[A]
2	3[A]	10[A]
3	3[A]	5[A]
4	2[A]	10[A]
5	2[A]	5[A]

解答

4

解説

RLC並列共振回路の計算

共振状態のとき、コイルLとコンデンサCをないものとして考えられるため、電流Iは

$$\begin{eqnarray} I=\frac{V}{R}=\frac{100}{50}=2 [\rm A] \end{eqnarray}$$

と求められます。

また、コイルに流れる電流I_XLは、

$$\begin{eqnarray} I_{XL}=\frac{V}{X_L}=\frac{100}{10}=10 [\rm A] \end{eqnarray}$$

と求められます。また、コンデンサに流れる電流I_XCと、コイルに流れる電流I_XLは等しいので、

$$\begin{eqnarray} I_{XC}=I_{XL}=10 [\rm A] \end{eqnarray}$$

と求められます。

RLC並列共振回路の解説

下記のRLC並列回路について、合成インピーダンスZを求めます。

$$\begin{eqnarray} \dot{Z}&=&\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C} &=&\frac{1}{\frac{1}{R}+j\left( \omega C-\frac{1}{\omega L} \right)} \end{eqnarray}$$

従って、回路に流れる電流Iは、

$$\begin{eqnarray} \dot{I}=\frac{\dot{V}}{\dot{Z}}=\left\{\frac{1}{R}+j\left( \omega C-\frac{1}{\omega L} \right)\right\}\dot{V} \end{eqnarray}$$

となり、実効値で表すと、複素数の絶対値の公式から、

$$\begin{eqnarray} I&=&|\dot{I}|=\left|\frac{1}{R}+j\left( \omega C-\frac{1}{\omega L} \right)\right|\left|\dot{V}\right| \\ &=&V\sqrt{\frac{1}{R^2}+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2} \\ \end{eqnarray}$$

と書くことができます。

ここで、ωC-1/ωL=0のときを考えてみましょう。すると、

$$\begin{eqnarray} I&=&V\sqrt{\frac{1}{R^2}+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^2} \\ &=&V\sqrt{\frac{1}{R^2}} \\ &=&\frac{V}{R} \\ \end{eqnarray}$$

となります。これは、ωC-1/ωL=0のときには、RLC並列回路はコイルLとコンデンサCをないものとして、単なる抵抗Rだけの回路と同じと言えます。

このωC-1/ωL=0のときを共振状態といいます。

共振状態の時、コンデンサCとコイルLに電流が流れていないわけではなく、大きさが等しく、互いに打ち消しあっているのです。