一陸特 令和5年6月 無線工学(B)問4

問題

図に示す回路において、スイッチS₁のみを閉じたときの電流IとスイッチS₂のみを閉じたときの電流Iは、ともに5[A]であった。また、スイッチS₁とS₂の両方を閉じたときの電流Iは、4[A]であった。抵抗R及びコイルLのリアクタンスX_Lの値の組合せとして、正しいものを下の番号から選べ。ただし、交流電源電圧は96[V]とする。

	R	XL
1	19.2[Ω]	10.7[Ω]
2	19.2[Ω]	32.0[Ω]
3	24.0[Ω]	10.7[Ω]
4	24.0[Ω]	32.0[Ω]

解答

4

解説

RLC並列回路の計算

スイッチS₁を閉じた場合とスイッチS₂を閉じた場合で電流が等しいため、コイルのリアクタンスX_LとコンデンサのリアクタンスX_Cの間には、下記の関係が成り立ちます。

$$\begin{eqnarray} X_L=X_C \end{eqnarray}$$

続いて、スイッチを両方閉じたときの合成インピーダンスZ₀を求めます。

$$\begin{eqnarray} \dot{Z_0}&=&\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}+j\frac{1}{X_C}} \\ &=&\frac{RX_LX_C}{X_LX_C-jRX_C+jRX_L} \\ Z_0=|\dot{Z_0}|&=&\frac{|RX_LX_C|}{\left|X_LX_C+j\left(X_L-X_C\right)\right|} \\ &=&\frac{RX_LX_C}{\sqrt{X_L^2X_C^2+\left(X_L-X_C\right)^2}} \\ \end{eqnarray}$$

電流4[A]、電圧96[V]、X_L=X_Cの関係を用いて、上の式をさらに展開します。

$$\begin{eqnarray} Z_0=\frac{96}{4}&=&\frac{RX_LX_C}{\sqrt{X_L^2X_C^2+\left(X_L-X_C\right)^2}} \\ 24&=&\frac{RX_L^2}{\sqrt{X_L^4}} \\ 24&=&\frac{RX_L^2}{X_L^2} \\ R&=&24 [\Omega] \end{eqnarray}$$

また、スイッチS₁だけを閉じた場合について、合成インピーダンスZ₁を求めます。

$$\begin{eqnarray} \dot{Z_1}&=&\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_L}} \\ &=&\frac{RX_L}{X_L-jR} \\ Z_1=|\dot{Z_1}|&=&\frac{|RX_L|}{|X_L-jR|} \\ &=&\frac{RX_L}{\sqrt{R^2+X_L^2}} \\ \end{eqnarray}$$

電流5[A]、電圧96[V]、抵抗R=24[Ω]なので、下記のように展開できます。

$$\begin{eqnarray} Z_1=\frac{96}{5}&=&\frac{RX_L}{\sqrt{R^2+X_L^2}} \\ 19.2&=&\frac{24X_L}{\sqrt{24^2+X_L^2}} \\ 19.2^2&=&\frac{24^2X_L^2}{24^2+X_L^2} \\ 19.2^2\left(24^2+X_L^2\right)&=&24^2X_L^2 \\ 24^2X_L^2-19.2^2X_L^2&=&19.2^2\times24^2 \\ (24^2-19.2^2)X_L^2&=&19.2^2\times24^2 \\ \end{eqnarray}$$

ここで、24²-19.2²を下記のように整理します。

$$\begin{eqnarray} (24^2-19.2^2)&=&(24+19.2)(24-19.2) \\ &=&43.2\times4.8 \\ &=&432\times48\times10^{-2}\\ &=&(108\times4)\times(12\times4)\times10^{-2} \\ &=&9\times12\times2^2\times2^2\times3\times2^2\times10^{-2} \\ &=&3^2\times2^2\times3\times2^6\times3\times10^{-2} \\ &=&3^4\times2^8\times10^{-2} \\ \end{eqnarray}$$

X_L>0なので、X_Lは下記のように求められます。

$$\begin{eqnarray} 3^4\times2^8\times10^{-2}X_L^2&=&19.2^2\times24^2 \\ 3^2\times2^4\times10^{-1}X_L&=&19.2\times24 \\ X_L&=&\frac{19.2\times24\times10}{3^2\times 2^4} \\ &=&\frac{6.4\times8\times10}{2^4} \\ &=&3.2\times10 \\ &=&32 \end{eqnarray}$$